Carta pública a Luisa - Primera Parte

Hago público un hermoso sentimiento. Imagino a Luisa como una niña de 11 o 12 años, linda, hermosa, despierta, inquieta, tal vez extrovertida, con hermosos sentimientos y otras muchas virtudes y cualidades que la adornan. Luisa me escribió probablemente lo que más hondo me ha llegado al alma, me dice tal vez los más bellos piropos que alguien me ha brindado. Cito con no disimulado orgullo algunas de sus frases: “…y mi papá me dio a leer lo que Ud. escribe en su blog y me aficioné. Leo todos sus escritos y aunque no sé nada de los asuntos políticos o de otra naturaleza, a Ud. lo entiendo sin problemas…Me gustaron mucho, sobretodo, los artículos del tiempo de la Navidad anterior cuando escribió sobre la canción Noche de Paz… ¿Cómo es que a Ud. lo entiendo y a otros no? …Por favor escríbame sobre las ecuaciones porque no entiendo al maestro ni al libro de texto, me confundo y estoy segura que a Ud. si lo entenderé… ¿Es cierto que el álgebra la inventaron los árabes y que ellos fueron una gran civilización, y sí es así, por qué los tratan tan mal que les tiran bombas y matan muchos niños?...”

Muy bien Luisa. Con mil amores te respondo públicamente y ojalá muchos otros niños y niñas como tú también se aprovechen de las muy modestas enseñanzas que trataré de trasmitirte y, por adelantado, te pido mil perdones por la fallas porque no soy maestro de ninguna especialidad ni estoy preparado como pedagogo. Ambos temas no los podré resumir en poco espacio, así que te propongo hacerlo en dos partes. Aquí, con todo el cariño del mundo va el primero.

Algebra – La necesidad de una ciencia nueva

Cuando la aritmética y la geometría plana no le bastaron al hombre para resolver los, hasta entonces, elementales problemas matemáticos que sus diferentes actividades le planteaban, o su misma imaginación le sugería, tuvo necesidad de idear una nueva ciencia.

Lentamente apareció así el álgebra. Esta toma vuelo y transforma para siempre el estudio de la matemática y, de paso, el de todas las ciencias. Sin el álgebra los cálculos necesarios para desarrollar la física, la mecánica y la termodinámica, por ejemplo, habrían sido imposibles.

El origen del álgebra

Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entre ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como la ecuación cuadrática.

Fueron los árabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nueva civilización que surgió en la península arábiga en la primera mitad del siglo VII, habría de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo conocido de entonces. La fundación de Bagdag en el año 766 d.C. como la nueva capital de su califato por el Califa Al-Mansur, significó el comienzo de una nueva etapa que permitió un gran desarrollo intelectual. Su sucesor, el Califa Harun Al-Rashid, quien gobernó entre 766 y 809, estableció una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias academias del Medio Oriente, algunas de las cuales habían sido establecidas por miembros de las antiguas academias de Atenas y Alejandría que tuvieron que cerrarse a raíz de la persecución de los romanos. Un programa de traducciones al árabe de textos clásicos de la matemática y la ciencia de los griegos y los hindúes era una de las actividades del Bayat al-Hikma (Casa de la Sabiduría), un instituto de investigaciones que fundara el Califa Al-Ma-mun y que funcionó durante más de doscientos años.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, un miembro del Bayat al-Hikma fue el autor de varios tratados sobre astronomía y matemáticas, entre ellos uno de los primeros tratados islámicos acerca del álgebra. Su obra más importante fue su tratado de álgebra Hisab al-jabra wal-muqabala (La ciencia de la reducción y confrontación), lo que viene a significar “la ciencia de las ecuaciones”.

El Algebra de Muhammad contiene instrucciones prácticas para resolver ciertas ecuaciones lineales y cuadráticas. “Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus cálculos…es un número”. Ese número no es más que la solución de una ecuación.

Omar Kayyam, gran poeta, fue otro importante algebrista árabe. Fue el primero en hacer una clasificación sistemática de las ecuaciones cúbicas y resolver algunas de ellas.

Europa no conoció el álgebra hasta la llegada del período conocido como el Renacimiento, muchos siglos después. Allí quienes más se destacaron fueron los matemáticos italianos a partir del siglo XVI.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un símbolo formado por números y letras que representan números, además de un número finito de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y la extracción de raíces. Se utilizan las primeras letras del alfabeto, a, b, c, d, etc. para representar cantidades constantes mientras que las últimas, z, y, x, v, etc. para representar cantidades variables.

Como las expresiones algebraicas representan por lo general números reales, su manipulación debe regirse por los axiomas de los números reales, lo cual es particularmente importante en el proceso de convertir una expresión algebraica en otra equivalente.

Las ecuaciones y su clasificación

Una ecuación es una pareja de expresiones algebraicas entre las cuales se establece una relación de igualdad. Son ecuaciones, por ejemplo,

3x + 2y = 28;       7a² + ab – 2bc = 10;       3x = z

Resolver una ecuación significa encontrar valores de las variables para las cuales la ecuación se convierte en una proposición verdadera. Las ecuaciones pueden ser de muy diversos tipos según el número de variables involucradas y las operaciones aritméticas que ocurran entre ellas.

Como se resuelve una ecuación

La relación involucrada en una ecuación es la igualdad. Euclides, en  Los Elementos, formula las maneras de manejar una igualdad y las presenta como nociones comunes:

1 – Objetos iguales a uno y al mismo son iguales entre sí.

2 – Si a cantidades iguales se añaden otras iguales, los totales son iguales.

3 – Si a cantidades iguales se quitan otras iguales, los restantes son iguales.

Al convertir estas nociones comunes al lenguaje simbólico del álgebra se pueden sintetizar solo en dos:

1 – Si a, b y c son números reales tales que a = c y c = b, entonces a = b.

2 – Si a, b y c son números reales y a = b, entonces a + c = b + c.

Sin embargo, estas nociones comunes de Euclides deben completarse con una adicional:

3 – Si a, b y c son números reales y a = b, entonces ac = bc.

Resolver una ecuación es encontrar todos los valores que pueden tomar las variables que ocurren en ella para que la ecuación se convierta en una verdadera proposición o identidad. En el proceso de resolver una ecuación con frecuencia es necesario transformarla en otra ecuación más sencilla mediante la aplicación de una o varias de las reglas anteriores.

No existe una fórmula general para resolver todas las ecuaciones. Aunque el álgebra existe hace más de mil años, hay todavía muchas clases de ecuaciones para las cuales no se conoce aún una solución general. Sin embargo, las que se han resuelto hasta ahora, y el ingenio que ello ha requerido por parte de muchos matemáticos de muchos lugares, se piensa que cada día serán más las ecuaciones resueltas.

Una elemental consideración es pensar que una ecuación se comporta como una balanza: siempre y cuando a ambos lados se le añada, o se le retire la misma cantidad, la balanza, es decir, la ecuación, se mantiene en equilibrio.

Las ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es aquella en la que todos los exponentes que ocurren son iguales a 1, y ninguna variable aparece multiplicada por otra. La ecuación lineal más sencilla es la de una variable y tiene la fórmula general ax + b = 0. En este caso a y b son constantes. La variable es x.

La solución de una ecuación lineal es muy sencilla. Si ax + b = 0, entonces existe solamente un valor que puede tomar la incógnita: x = -b/a.

(Continuará)

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